μιγάδες

Οι δύο ασκήσεις από το διαγώνισμα (2013) στους μιγαδικούς. Αν δεν τις λύσατε, ξαναδείτε τις. Στη συνέχεια, μελετήστε τη λύση (κυρίως ως προς τη διατύπωση) και σκεφτείτε πάνω σε εναλλακτικές προσεγγίσεις - αυτές που έχουμε δει ή δικές σας (π.χ. τη γεωμετρική αντιμετώπιση του 1Β, που θα μπορούσαμε να ακολουθήσουμε αν δεν υπήρχε το "βολικό" Α ερώτημα...)


 1 

Α) Να δείξετε ότι για δύο οποιουσδήποτε μιγαδικούς ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ ισχύει 
          ${{\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}=2{{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+2{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}$. 
Β) Αν για τους μιγαδικούς $z$, $w$ ισχύει $\left| z \right|=\left| w \right|=1$ και $\left| z+w \right|=\sqrt{3}$, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ${\mathrm O}AB$ είναι ισόπλευρο ▬ όπου $A $, $B$ οι εικόνες των $z$, $w$ αντίστοιχα, και ${\mathrm O}$ η αρχή των αξόνων.



Α) Ασκ. 9, σελ. 101, σχολικό βιβλίο.

Β) Είναι $(OA)=\left| z \right|$, $(OB)=\left| w \right|$ και $(AB)=\left| z-w \right|$. 

Αρκεί λοιπόν να δείξω ότι $\left| z \right|=\left| w \right|=\left| z-w \right|$, δηλ. ότι $\left| z-w \right|=1$.
Όμως σύμφωνα με το Α ερώτημα, έχουμε:

          ${{\left| z+w \right|}^{2}}+{{\left| z-w \right|}^{2}}=2{{\left| z \right|}^{2}}+2{{\left| w \right|}^{2}}\Leftrightarrow$

          $ \Leftrightarrow{{\sqrt{3}}^{2}}+{{\left| z-w \right|}^{2}}=2\cdot {{1}^{2}}+2\cdot {{1}^{2}}$
          $\Leftrightarrow {{\left| z-w \right|}^{2}}=4-3=1$
          $\Leftrightarrow \left| z-w \right|=1$, όπως το θέλαμε.



 2 

Έστω $u$, $w$ οι μιγαδικοί για τους οποίους ισχύουν οι σχέσεις:
          $\left| u-\frac{1}{2} \right|=1$       και       $2uw=w+2i$.
Α) Να δείξετε ότι $\left| w \right|=1$.       
Β) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών $z$, για τους οποίους ισχύει η σχέση
          $(2z-i)(2\overline{z}+i)=w\overline{w}$.
Γ) Για τους μιγαδικούς $z$ του ερωτήματος Β, 
  (i) να βρείτε την ελάχιστη και την μέγιστη τιμή του $\left| z-1-i \right|$.
  (ii) να δείξετε ότι $\left| {{z}^{2}}-2\overline{w} \right|\le 3$.




Α) Έχουμε $2uw=w+2i\Leftrightarrow (2u-1)w=2i$, επομένως


          $\left| (2u-1)w \right|=\left| 2i \right|\Leftrightarrow \left| 2u-1 \right|\left| w \right|=2\left| i \right|\Leftrightarrow \left| 2(u-\frac{1}{2}) \right|\left| w \right|=2\cdot 1\Leftrightarrow $

$\Leftrightarrow 2\left| u-\frac{1}{2} \right|\left| w \right|=2\Leftrightarrow 1\cdot \left| w \right|=1\Leftrightarrow \left| w \right|=1$.

Β) Η δοθείσα σχέση γράφεται ισοδύναμα:


$(2z-i)(\overline{2z-i})=w\overline{w}\Leftrightarrow {{\left| 2z-i \right|}^{2}}={{\left| w \right|}^{2}}={{1}^{2}}\Leftrightarrow $

$\Leftrightarrow \left| 2z-i \right|=1\Leftrightarrow \left| 2(z-\frac{1}{2}i) \right|=1\Leftrightarrow 2\left| z-\frac{1}{2}i \right|=1\Leftrightarrow \left| z-\frac{1}{2}i \right|=\frac{1}{2}$
          $\Leftrightarrow$$\left| z-(0+\frac{1}{2}i) \right|=\frac{1}{2}$.

Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του $z$ είναι ο κύκλος $\boldsymbol{c}$ με κέντρο $\boldsymbol{K(0,\frac{1}{2})}$ και ακτίνα $\boldsymbol{\rho =\frac{1}{2}}$.



Γ) (i) Έστω $M$ η εικόνα του $z$ στο μιγαδικό επίπεδο.

Είναι $\left| z-1-i \right|=\left| z-(1+i) \right|$, οπότε ζητούμε την ελάχιστη και την μέγιστη τιμή της απόστασης $(MP)$ καθώς το $M$ κινείται στον $c$, όπου $P$ το σημείο $(1,1)$. 
Αν η διακεντρική ευθεία $KP$ τέμνει τον κύκλο $c$ στα σημεία $A$ και $B$ αντίστοιχα, γνωρίζουμε πως

          $(BP)\le (MP)\le (AP)$, 

οπότε είναι φανερό πως 


          $\min \left| z-1-i \right|=\min (MP)=(BP)=(KP)-\rho =$

          $=\sqrt{{{(1-0)}^{2}}+{{(1-\frac{1}{2})}^{2}}}-\frac{1}{2}=\sqrt{\frac{5}{4}}-\frac{1}{2}=$$\boldsymbol{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}$, ενώ
          $\max \left| z-1-i \right|=\max (MP)=(AP)=(KP)+\rho =\sqrt{\frac{5}{4}}+\frac{1}{2}=$$\boldsymbol{\frac{\sqrt{5}+1}{2}}$.

(ii) Έχουμε 


$\left| {{z}^{2}}-2\overline{w} \right|=\left| {{z}^{2}}+(-2\overline{w}) \right|\le \left| {{z}^{2}} \right|+\left| -2\overline{w} \right|={{\left| z \right|}^{2}}+\left| 2\overline{w} \right|={{\left| z \right|}^{2}}+2\left| {\overline{w}} \right|=$

$={{\left| z \right|}^{2}}+2\left| w \right|={{\left| z \right|}^{2}}+2\cdot 1\le {{(\max \left| z \right|)}^{2}}+2={{1}^{2}}+2=3$, [1]  

όπως το θέλαμε – αφού (βλ. σχήμα)


$\max \left| z \right|=(OK)+\rho =\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$.





Σημειώσεις:
1. ^Εδώ θα μπορούσαμε να αγνοήσουμε το μέγιστο μέτρο του $z$, και να συνεχίσουμε με καθαρά με αλγεβρικούς χειρισμούς: $...{\left| z \right|}^2+2 = {\left|( z - \frac{1}{2}i )+\frac{1}{2}i \right|}^2 +2 \le {(\left| z-\frac{1}{2}i \right|+\left| \frac{1}{2}i \right|)}^2+2 = (\frac{1}{2}+\frac{1}{2})^2+2 = 1+2=3$.