circles

Μια άσκηση για επανάληψη ορισμένων από τα θέματα τής Β'-κατεύθυνσης. Όλα εδώ είναι χτισμένα γύρω από μια οικογένεια κύκλων, που ακολουθεί ... ημικυκλικό μονοπάτι (!;). Κάπου προς το τέλος έρχεται και μια παραβολή για να ολοκληρώσει την πορεία, επιστρέφοντας στο σημείο Α. Θυμηθείτε πως η σχετική θέση δύο κύκλων (ή κύκλου και ευθείας) εξαρτάται από την απόσταση των κέντρων τους (ή τού κέντρου από την ευθεία). Γενικά, δεν ξεχνούμε την παλιά καλή ευκλείδεια γεωμετρία: όπου μπορείτε, βάλτε την κι αυτήν στο παιχνίδι!



Δίνεται η εξίσωση      (1).
Α) Να δείξετε ότι η (1) παριστάνει κύκλο    για κάθε .
Β) Να προσδιορίσετε τα κέντρα και τις ακτίνες των κύκλων τής οικογένειας . Ποιος είναι ο γεωμετρικός τόπος των κέντρων;
Γ) Θεωρούμε τους κύκλους  , ,  τής οικογένειας , καθώς και την ευθεία  που είναι εφαπτόμενη στους ,  αλλά δεν τέμνει τον .
     (i) Να γράψετε τις εξισώσεις των παραπάνω κύκλων και να βρείτε τη σχετική τους θέση ανά δύο.
     (ii) Να βρείτε την εξίσωση τής  και το σημείο στο οποίο η ευθεία τέμνει τον άξονα .
     (iii) Να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο και τη γωνία των διανυσμάτων και .
     (iv) Έστω ένα τυχαίο σημείο της ευθείας .
          - Να δείξετε ότι το εμβαδό τού τριγώνου είναι σταθερό και ίσο με .
          - Να βρείτε την εξίσωση τής μεσοκαθέτου τού τμήματος .
          - Να συγκεκριμενοποιήσετε το ώστε το τρίγωνο να είναι ισοσκελές με βάση .
     (v) Έστω  η παραβολή με κορυφή την αρχή των αξόνων και άξονα συμμετρίας , η οποία εφάπτεται στην ευθεία .
          - Να βρείτε την εξίσωση τής παραβολής.
          - Να δείξετε ότι η διευθετούσα    τής παραβολής διέρχεται από το σημείο .


...μερικές ενδεικτικές απαντήσεις. (Για συγκεκριμένες απορίες, ρωτήστε!):

Α)     $Α^2+Β^2-4Γ=4>0$, άρα κύκλος $\forall a \in [-1,1]$.

B)     Κέντρα $K_a(a, \sqrt{1-a^2})$, ακτίνα $ρ=1$. 
         Γεωμετρικός τόπος των κέντρων: το ημικύκλιο $x^2+y^2=1,\,\,y\ge 0$.
Γ-i)    Για $a=-1$, $a=0$ και $a=1$ έχουμε αντίστοιχα τους κύκλους 
         $(c_{-1}): x^2+y^2+2x=0$,    $(c_0): x^2+y^2-2y=0$  και   $(c_1): x^2+y^2-2x=0$.
         Οι $(c_{-1})$, $(c_0)$ τέμνονται, όπως και οι $(c_0)$, $(c_1)$.    Οι $(c_{-1})$, $(c_1)$ εφάπτονται εξωτερικά.
Γ-ii)    $(\varepsilon):y=-x+1+\sqrt{2} $,      $A(0,1+\sqrt{2})$.
Γ-iii)   Για $a=0$ και $a=1$, παίρνουμε αντίστοιχα τα σημεία $K_0(0,1)$, $K_1(1,0)$, οπότε:
          $\overrightarrow{K_0A} \cdot \overrightarrow{K_0K_1}=-\sqrt{2} $,   $\large \phi=\frac{3\pi}{4}$.
Γ-iv)    - Παίρνουμε τον τύπο τού εμβαδού για τα σημεία $K(x, -x+1+\sqrt{2})$,  $K_0(0,1)$,  $K_1(1,0)$.
           - Μεσοκάθετος: η ευθεία  $y=x$.
           - Είναι $\large K(\frac{1+\sqrt{2}}{2},\frac{1+\sqrt{2}}{2})$. [προκύπτει ως σημείο τομής τής $y=x$ με την $(\varepsilon)$].
Γ-iv)      - $(c): x^2=-4(1+\sqrt{2})y$.
             - Είναι $p=-2(1+\sqrt{2})$, άρα $(δ): y=1+\sqrt{2}$, οπότε διέρχεται από το $A$.




... φτιάξτε σχήμα ... παράλληλα με τη λύση, διερευνήστε πιθανές συμμετρίες τής οικογένειας: πότε (για ποιες τιμές τής παραμέτρου $a$) δυο κύκλοι τής οικογένειας είναι συμμετρικοί ως προς τον άξονα $y'y$; ... επομένως, αφού βρείτε την ευθεία $(\varepsilon)$, μπορείτε κατευθείαν να προσδιορίσετε την εφαπτομένη των $(c_{-1})$, $(c_0)$ που δεν τέμνει τον $(c_1)$; ... τι άλλα ερωτήματα θα μπορούσατε να προσθέσετε; ... φανείτε δημιουργικοί!

5 σχόλια:

  1. Απαντήσεις
    1. jojo έβγαλα ενδεικτικές απαντήσεις for you.
      Δεν ξέρω αν θα προλάβω (θα προσπαθήσω) το ΣΚ να ανεβάσω πλήρη λύση...
      Ωστόσο για ό,τι απορία έχεις σε κάποιο συγκεκριμένο ερώτημα, ρώτα. Θα σού απαντήσω...
      Μην ξεχνάς βέβαια ότι αυτή είναι μια πολύπλοκη και μεγάλη άσκηση. Εννοείται ότι στις εξετάσεις τα πράματα είναι πολύ πιο συμμαζεμένα, έτσι;

      Διαγραφή
  2. Κυριε οι γεωμετρικοι τοποι οπως ζητατε στο ερωτημα Β ειναι εκτος ετσι;

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. άρη προφανώς εννοείς επειδή βγαίνει κύκλος...
      ναι, OK - εμείς έχουμε κάνει να βγαίνει ευθεία, αλλά δεν είναι και τίποτα φοβερό ε;
      θέτω $x=a$, $y=\sqrt{1-a^2}$, οπότε με μια απλή αντικατάσταση:
      $y=\sqrt{1-x^2}\Leftrightarrow (\, x^2+y^2=1\,\,\,και\,\,\,y\ge 0\,)$, δηλ. το μοβ ημικύκλιο με τις διακεκομμένες στο σχήμα.

      Διαγραφή
    2. (OXI λοιπόν τέτοιο πράμα, εφόσον δεν έχουμε κάνει...)

      Διαγραφή