lines

Μια άσκηση στις ευθείες (χωρίς εμβαδά) με ολίγη από γενική εξίσωση ευθείας. Συγκεκριμένα εδώ πρέπει να επιλέξουμε μια ευθεία μέσα από την αρχική οικογένεια και πάνω σ' αυτήν να "κολλήσουμε" ένα τετράγωνο, του οποίου τις γεωμετρικές ιδιότητες θα αξιοποιήσουμε στη συνέχεια. Μην ξεχάσετε να κάνετε σχήμα: βοηθάει!


Δίνεται η εξίσωση , όπου .
α) Να δείξετε ότι:
     (i) η εξίσωση παριστάνει ευθεία, για κάθε .
     (ii) δεν υπάρχει σημείο του επιπέδου από το οποίο να διέρχονται όλες οι ευθείες της οικογένειας .
β) Να προσδιορίσετε την ευθεία της οικογένειας , η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων και σχηματίζει με τον άξονα οξεία γωνία.
γ) Έστω το σημείο της ευθείας με τετμημένη . Θεωρούμε το τετράγωνο που βρίσκεται στο 1ο και 4ο τεταρτημόριο.
     (i) Να βρείτε τις εξισώσεις των πλευρών , και του τετραγώνου .
     (ii) Να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων , και , όπου το κέντρο του τετραγώνου.
     (iii) Αν το μέσο του , να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το και τέμνει τις πλευρές , στα σημεία , αντίστοιχα, κατά τρόπο ώστε .
     (iv) Να δείξετε ότι η ευθεία δεν είναι μέλος της οικογένειας .


...ενδεικτικές απαντήσεις:

α-i)    Οι συντελεστές $a+1$ και $a^2-3$ δεν μπορεί να είναι ταυτόχρονα μηδέν.
α-ii)   Είναι $(1)\Leftrightarrow (y+1)a^2+(x-3)a+(x-3y+2)=0$  (2). 
          Δεν υπάρχουν $x,y$ ώστε η (2) να ισχύει $\forall a$.
β)       $(ε):\, y=x$.
γ-i)      Είναι $A(2,2)$, οπότε:
           $(ΑΒ): \,  y=-x+4$,    $(ΒΓ): \, y=x-4$    και   $(ΓΟ): \,  y=-x$.
γ-ii)     $Β(4,0)$,     $Γ(2,-2)$,     $Κ(2,0)$.
γ-iii)    Είναι $Μ(1,0)$,     οπότε     $(ζ): \, y=3x-3$.     
           [  προκύπτει γρήγορα από τη διανυσματική σχέση $\overrightarrow{ΜΔ}=2\overrightarrow{ΕΜ}$, θέτοντας $Δ(x_Δ, x_Δ), Ε(x_Ε, -x_Ε)$.  ]
γ-iv)    H $(ζ)$ γράφεται $3x-y-3=0$ και δεν υπάρχει $a$ για το οποίο οι συντελεστές τής (1) να είναι $3,-1,-3$.



Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου