calculus

Μια επαναληπτική άσκηση στον διαφορικό λογισμό (1ο κεφάλαιο των ΜΣΣ της Γ'). Λίγο - πολύ εδώ μέσα περιλαμβάνονται... τα πάντα: βασικά στοιχεία συναρτήσεων, όρια / συνέχεια, παράγωγοι και εφαρμογές. Τα ερωτήματα μπλέκονται το ένα μέσα στο άλλο, οπότε προσοχή: μόλις τελειώσουμε ένα ερώτημα, δεν το ξεχνάμε! Τα ζητούμενα είναι μπόλικα, αλλά ούτως ή άλλως ο σκοπός εδώ είναι η επανάληψη - δεν θα μπορούσε αυτή να είναι άσκηση εξετάσεων...


Δίνεται η συνάρτηση η οποία είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο . Η γραφική παράσταση της διέρχεται από το σημείο και έχει στο εφαπτομένη που είναι παράλληλη στην ευθεία
Θεωρούμε επίσης την συνάρτηση για την οποία ισχύει .
α) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της διέρχεται από το σημείο .
β) Να δείξετε ότι
                    .
γ) Συγκεκριμενοποιούμε την παραπάνω συνάρτηση , θεωρώντας ότι έχει την πολυωνυμική μορφή
                    , όπου πραγματικές σταθερές.
   (i) Να υπολογίσετε τις σταθερές και .
   (ii) Να μελετήσετε την συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
   (iii) Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο .
   (iv) Αν είναι η κλίση της συνάρτησης στο σημείο της , να εξετάσετε αν η συνάρτηση με τύπο
                     
είναι συνεχής στο .
     (v) Έστω η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της στο σημείο . Αν για κάθε θεωρήσουμε το εμβαδό του τριγώνου που σχηματίζουν οι ευθείες και με τον άξονα ,
          - να βρείτε το για το οποίο ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού είναι .
          - να δείξετε ότι για την τιμή του που βρήκατε παραπάνω, το είναι το τρίγωνο .


...πρώτα μόνοι σας - για ερωτήσεις / διευκρινήσεις στείλτε comment παρακάτω (υποβολή σχολίου ως -> όνομα -> ...)






(τα ερωτήματα α και β είναι εμπνευσμένα από μια ιδέα των Αργυράκη - Κουτσανδρέα)

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου