vectors


Μια άσκηση για επανάληψη στα διανύσματα (χωρίς εσωτερικό γινόμενο). Πρόσθεση διανυσμάτων, διανυσματική ακτίνα μέσου, συντεταγμένες, μέτρο, παραλληλία, συνευθειακά σημεία εξετάζονται εδώ. Προσοχή: στα δυο πρώτα ερωτήματα δεν έχουμε δώσει ακόμη συντεταγμένες στα σημεία, άρα δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το ερώτημα γ). Τα επιμέρους ερωτήματα της άσκησης δεν παρουσιάζουν κάποια ιδιαίτερη δυσκολία - απλά οπλιστείτε με υπομονή γιατί είναι αρκετά (αφήστε αν θέλετε για το τέλος το έξτρα ερώτημα *).



Δίνεται παραλληλόγραμμο με κέντρο και το μέσο της πλευράς .
α) Να δείξετε ότι .
β) Αν είναι σημείο τέτοιο ώστε , να αποδείξετε ότι τα σημεία ,  είναι συνευθειακά.
γ) Αν , και η αρχή των αξόνων, να βρείτε:
   (i) τις συντεταγμένες των σημείων , , .
   (ii) τα μήκη των διαγωνίων του παραλληλογράμμου.
   (iii) το ώστε τα σημεία , και να είναι συνευθειακά. 
                              (* Για την τιμή του που βρήκατε, αποδείξτε ότι το  
                                       - βρίσκεται ανάμεσα στο  και το 
                                       - είναι το σημείο τομής των τμημάτων .
                                       - ταυτίζεται με το σημείο  του ερωτήματος β) .)
   (iv) το ώστε το διάνυσμα να είναι αντίρροπο του και να έχει μέτρο .




α) Εφόσον το είναι μέσο της , ισχύει      (1).
Όμως το είναι μέσο της , ως κέντρο του παραλληλογράμμου. Άρα,      (2).
Από την άλλη, είναι      (3),    
αφού το είναι παραλληλόγραμμο.
Τελικά η (1) λόγω των (2) και (3) μας δίνει , όπως το θέλαμε.


β) Ξεκινάμε από τη δοθείσα σχέση, παίρνοντας ως σημείο αναφοράς το :
          
          
          .
Η τελευταία σχέση όμως σημαίνει πως , οπότε επειδή το Α είναι κοινό σημείο, τα σημεία , , είναι συνευθειακά.[1]



γ-(i) Έστω , και . Επειδή το είναι μέσο της , έχουμε
           , δηλαδή .
Ομοίως επειδή το είναι μέσο της , έχουμε 
          , δηλαδή .[2]
Τέλος το είναι μέσο της , επομένως
          , δηλαδή .

γ-(ii) Είναι και .
Άρα τα ζητούμενα μήκη των διαγωνίων είναι 
           και
          .

γ-(iii) Είναι και
, επομένως για να είναι τα σημεία , , συνευθειακά, πρέπει
         
           .

(* - Για είναι λοιπόν
Για να βρίσκεται το ανάμεσα στο και το , θα πρέπει να δείξουμε πως τα και είναι ομόρροπα. Πράγματι, 
           και
          
Είναι τώρα φανερό πως , που σημαίνει πως τα , είναι ομόρροπα. 
     - Εφόσον το είναι εσωτερικό σημείο του , για να δείξω ότι είναι το σημείο τομής των , , αρκεί να δείξω ότι είναι συνευθειακό με τα , . Όμως:
           και 
          , άρα
          
επομένως τα , , είναι όντως συνευθειακά.
    - Είναι
, που σημαίνει πως το ταυτίζεται με το .)


γ-(iv) Έχουμε . Επομένως 
. Επειδή όμως , θα είναι .
Τελικά λοιπόν .


Σημειώσεις:
1. ^Θα μπορούσαμε εδώ να απαντήσουμε και γεωμετρικά: Αφού ΡΒ=2ΟΡ και ΟΒ διάμεσος του τριγώνου ΑΒΓ, αυτό σημαίνει πως το Ρ είναι το βαρύκεντρο του ΑΒΓ. Επομένως η διάμεσος ΑΜ διέρχεται από το Ρ, δηλαδή τα Α, Ρ, Μ είναι συνευθειακά.
2. ^Επειδή τα σημεία Β και Γ είναι συμμετρικά ως προς τα Δ και Α αντίστοιχα (με κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων Ο), θα μπορούσαμε κατευθείαν να πούμε πως έχουν τις αντίθετες συντεταγμένες!

4 σχόλια:

  1. Το α υποερωτημα εχει σχεση με το β;

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Δεν είναι απαραίτητο το α για το β. Βέβαια και στα δύο αναμιγνύεται η διανυσματική ακτίνα του μέσου Μ.
      (Για το β θέσε ένα σημείο αναφοράς στη δοθείσα σχέση $\overrightarrow{PB}=2\overrightarrow{OP}$ και θα φτάσεις εύκολα στη συνευθειακότητα που ζητάει..)

      Διαγραφή
  2. στο υποερώτημα β) βρήκα ΡΑ=-2ΡΜ....ισχύει η συνευθειακότητα;

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Σωστά το βρήκες Αντώνη... Φυσικά και ισχύει: αφού έβγαλες ότι $\overrightarrow{PA}=\lambda \overrightarrow{PM}$ (με $\lambda=-2$), τα διανύσματα είναι παράλληλα - και εφόσον έχουν ένα κοινό σημείο, τα Α, Ρ, Μ είναι συνευθειακά.

      Διαγραφή