exp-log

Μια άσκηση για επανάληψη του 4ου κεφαλαίου της Β': εκθετικές / λογαριθμικές συναρτήσεις (πεδίο ορισμού - μονοτονία), σε συνδυασμό με επίλυση εκθετικών / λογαριθμικών εξισώσεων και ανισώσεων



Δίνονται οι συναρτήσεις 
     , όπου σταθερός πραγματικός αριθμός,
      και
     .
α) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η ορίζεται και είναι γνησίως φθίνουσα στο .
β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της .
γ) Αν η διέρχεται από το σημείο
(i) να δείξετε ότι .
(ii) να βρείτε τα σημεία τομής των , .
(iii) να λύσετε την ανίσωση .


α) Για να ορίζεται η και να είναι γνησίως φθίνουσα στο , πρέπει και αρκεί . Επομένως έχουμε να δούμε πού συναληθεύουν οι ανισώσεις και . Όμως:
                                       (1)
και 
           ή      (2)
Οι (1) και (2) συναληθεύουν για .[1]


β) Για να ορίζεται η , πρέπει και αρκεί 
           και 
           και .
Άρα το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο .


γ) (i) Εφόσον η διέρχεται από το σημείο , θα πρέπει 
          .
Επομένως ο τύπος της τώρα γίνεται .


(ii) Οι τετμημένες των σημείων τομής των και είναι οι λύσεις της εξίσωσης .
Έχουμε: 
          
                      (3)
Θέτοντας τώρα , η (3) γίνεται:
           ή , δηλαδή
           
       ή
          .
Επομένως τα σημεία τομής των και είναι τα
           και .[2]


(iii) Η δοθείσα ανίσωση ορίζεται προφανώς για , αν λάβουμε υπόψη το ερώτημα β.
Γι' αυτές τις τιμές του , έχουμε:
          [3] 
          [4]
          [5]   
          [6] 
          [7]
          .


Τελικά λοιπόν .





Σημειώσεις:
1. ^Η συναλήθευση των ανισώσεων μπορεί να διαπιστωθεί σχηματικά, στον άξονα των πραγματικών:
2. ^Είναι και .
3. ^Πριν προχωρήσουμε, παρατηρούμε καλά την ανίσωση. Γίνεται απλοποίηση!
4. ^Και τα δύο μέλη είναι θετικά, επομένως μπορούμε να "λογαριθμίσουμε". Η φορά της ανισότητας δεν θα αλλάξει, αφού θα χρησιμοποιήσουμε (προφανώς) τον φυσικό λογάριθμο, που έχει ως βάση το e>1.
5. ^Εφαρμόζουμε τις ιδιότητες των λογαρίθμων: και , όπου εδώ βέβαια είναι , , και .
6. ^Το δεν είναι παρά ένας πραγματικός αριθμός, που μάλιστα γράφεται   
          .
7. ^Εδώ θα μπορούσαμε για "αποσυμφόρηση" του συμβολισμού να θέσουμε . Τότε η ανίσωση θα γινόταν , που έχει λύση , δηλαδή κ.λπ. Υπενθυμίζουμε και πάλι ότι το δεν πρέπει να μας μπερδεύει: είναι ένας σταθερός αριθμός, που τον "κουβαλάμε" ως έχει.























3 σχόλια:

  1. Καλησπέρα, κύριε. Προσπάθησα να λύσω την παραπάνω άσκηση και βρήκα τα εξής αποτελέσματα.α) η f φθίνουσα <=> α ε (-2,-ρίζα3) U (ρίζα3,2) β) για την h Α=(0,1)U(1,+οο) γ) i)αποδείχθηκε ii)σ.τ. Α(0,1) και Β(log του 3 με βάση 2,9) iii)μετά από αρκετές πράξεις...x ε (1,4e].Είναι σωστά τα αποτελέσματά μου? Αν όχι,ποιές είναι οι σωστές απαντήσεις?

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Γιάννη είχα λίγες μέρες να μπω και δεν είδα την ερώτησή σου.
      Έβγαλα τη λύση - φυσικά είσαι (ως συνήθως) αλάνθαστος!
      Καλό καλοκαίρι και καλή προετοιμασία για τη Γ.
      (Για ό,τι χρειαστείς, εδώ είμαστε! Μη διστάσεις να επικοινωνήσεις....)

      Διαγραφή
  2. Ευχαριστώ πολύ,να είστε καλά!

    ΑπάντησηΔιαγραφή