Invent your future!: ruler+compass

Η άσκηση 2 στη σελίδα 203 του σχολικού βιβλίου της γεωμετρίας είναι ένα τυπικό πρόβλημα πάνω στις μετρικές σχέσεις στον κύκλο, χωρίς κάποια ιδιαίτερη δυσκολία. Η ορθή κατασκευή όμως του σχήματος της άσκησης με κανόνα και διαβήτη, παρουσιάζει ενδιαφέρον! Έχουμε λοιπόν έναν κύκλο που περνάει από την κορυφή Α του τριγώνου ΑΒΓ και από τα μέσα των πλευρών του ΑΒ και ΑΓ, ενώ ταυτόχρονα εφάπτεται στην πλευρά ΒΓ. Η κατασκευή και μόνο του σχήματος αποτελεί μια καλή επανάληψη του κεφαλαίου των μετρικών σχέσεων. Η διερεύνηση της κατασκευής και η περαιτέρω εμβάθυνση μπορεί να οδηγήσει (όπως πάντα στα μαθηματικά) σε ορισμένα ενδιαφέροντα συμπεράσματα..

Λύση:

Είναι φανερό πως δεν γίνεται να φέρουμε κύκλο που να ικανοποιεί τις ζητούμενες συνθήκες σε οποιοδήποτε τρίγωνο. Επομένως το πρόβλημα εδώ δεν είναι απλά να κατασκευάσουμε έναν κύκλο με συγκεκριμένες ιδιότητες, αλλά να φτιάξουμε και το κατάλληλο τρίγωνο που θα "δεχτεί" έναν τέτοιο κύκλο. Ξεκινάμε λοιπόν με ένα ευθύγραμμο τμήμα $\mathrm{ B\Gamma }$ , που είναι η υποψήφια βάση του τριγώνου μας. Παίρνουμε πάνω στη $\mathrm{ B\Gamma }$ τυχαίο^[1] σημείο $\mathrm{ \Delta }$ , που είναι το υποψήφιο σημείο επαφής. Θα επιχειρήσουμε να εντοπίσουμε την κορυφή $\mathrm{ A }$ του τριγώνου, με δεδομένα τα σημεία $\mathrm{ B}$ , $\mathrm{ \Gamma }$ και $\mathrm{ \Delta }$ .

Τα $\mathrm{ B\Delta }$ , $\mathrm{ \Gamma \Delta }$ θα είναι στο σχήμα μας εφαπτόμενα τμήματα στον ζητούμενο κύκλο, ενώ οι πλευρές $\mathrm{ AB}$ , $\mathrm{ A\Gamma }$ τέμνουσες. Επομένως σύμφωνα με το 2ο θεώρημα των τεμνουσών, θα πρέπει να ισχύει

$\mathrm{ B{{\Delta }^{2}}=BM\cdot AB}$ και $\mathrm{ \Gamma {{\Delta }^{2}}=\Gamma N\cdot A\Gamma }$ ,

από όπου λαμβάνοντας υπόψη ότι $\mathrm{ BM=\frac{AB}{2}}$ και $\mathrm{ \Gamma N=\frac{A\Gamma }{2}}$ , προκύπτει εύκολα πως

$\color{Apricot} \mathrm{ AB=B\Delta \sqrt{2}}$ και $\color{Apricot} \mathrm{ A\Gamma =\Gamma \Delta \sqrt{2}}$ .

Είναι φανερό τώρα πως οι $\mathrm{ AB}$ , $\mathrm{ A\Gamma }$ είναι υποτείνουσες 2 ορθογωνίων και ισοσκελών τριγώνων με πλευρές $\mathrm{ B\Delta }$ και $\mathrm{ \Gamma \Delta }$ αντίστοιχα. Επομένως είναι εύκολα κατασκευάσιμες – αρκεί να φέρουμε κάθετη^[2] στο $\mathrm{ \Delta }$ (βλ. σχήμα) και να πάρουμε πάνω της τμήματα $\mathrm{ \Delta E=B\Delta }$ και $\mathrm{ \Delta Z=\Gamma \Delta }$ .

Η ζητούμενη κορυφή $\mathrm{ A}$ είναι τότε το σημείο τομής των κύκλων $\mathrm{ (B,BE)}$ και $\mathrm{ (\Gamma ,\Gamma Z)}$ , ενώ ο κύκλος μας είναι ο $\mathrm{ (O,OA)}$ , όπου $\mathrm{ O}$ το σημείο τομής των μεσοκαθέτων^[2] των $\mathrm{ AM}$ και $\mathrm{ AN}$ . Τελειώσαμε!^[3]

Σημειώσεις:
1.^{^} Στην πραγματικότητα, όχι ακριβώς τυχαίο. Μπορείς να βρεις τον περιορισμό ώστε να είναι σίγουρα κατασκευάσιμο το τρίγωνό μας; (Βοήθεια: το σημείο Δ δεν μπορεί να "πλησιάσει" πολύ κοντά στα Β και Γ!).
2.^{^} Η μεσοκάθετη ενός ευθύγραμμου τμήματος, το μέσο τμήματος και η κάθετη σε σημείο ευθείας κατασκευάζονται με τον ίδιο (γνωστό από την Α' τάξη) τρόπο: ενώνοντας τα σημεία τομής 2 κύκλων με κέντρα τα άκρα του τμήματος και ακτίνες αρκούντως μεγάλες. Στο σχήμα μας π.χ. φαίνεται η κατασκευή των μεσοκαθέτων των τμημάτων ΑΜ και ΑΝ.
3.^{^} Παρακάτω φαίνονται οι αξιέπαινες προσπάθειες των 3 επιμελών μας μαθητριών. Το σχήμα της Ελένης κερδίζει δικαιωματικά το βραβείο (;!), εφόσον πλησιάζει πιο πολύ στη γενικότητα του προβλήματος!