θαλής

Οι διαγωνισμοί της μαθηματικής εταιρίας δίνουν έξτρα ερεθίσματα στον ανήσυχο μαθητή και προεκτείνουν δημιουργικά τις γνώσεις που αποκτά από τα σχολικά μαθηματικά. Παρουσιάζω το πιο ενδιαφέρον από τα αλγεβρικά θέματα του "Θαλή" της Γ' Λυκείου, που δόθηκε στις 19 Νοεμβρίου. Η άσκηση χρησιμοποιεί τη θεωρία των αριθμητικών προόδων και μπορεί κάλλιστα να αντιμετωπιστεί από τον μαθητή που έχει ολοκληρώσει την ύλη της Β'. Χμ, εντάξει, με εξαίρεση αυτό το αθροισματάκι , για το οποίο δίνω και έναν σύντομο σχολιασμό/απόδειξη.


Η ακολουθία , είναι τέτοια ώστε η ακολουθία ,   να είναι αριθμητική πρόοδος με διαφορά .
α) Να προσδιορίσετε (συναρτήσει των , και ) τον γενικό όρο και το άθροισμα .
β) Αν είναι και , να προσδιορίσετε τον ελάχιστο θετικό ακέραιο για τον οποίο συναληθεύουν οι ανισώσεις και .


Λύση:

α) Θα αξιοποιήσουμε το γεγονός ότι η είναι αριθμητική πρόοδος.
Ο γενικός όρος της δίνεται, ως γνωστόν, από τον τύπο .
Όμως σύμφωνα με τα δεδομένα της άσκησης , οπότε  
           .
Από την άλλη, η ορίζεται ως και έτσι, συνδυάζοντας τις δυο τελευταίες ισότητες οδηγούμαστε στη σχέση
           , για
Επομένως
            
            
               (1)
Προφανώς για το άθροισμα θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο που βρήκαμε προηγουμένως:
           
           
Το μόνο που μας μένει τώρα είναι να υπολογίσουμε το άθροισμα . Όμως:
           
           
           .
Άρα
           
               (2)


β) Για και , είναι , οπότε η (1) δίνει
            
και η (2) δίνει
            
           .
Παίρνουμε λοιπόν τις δοθείσες ανισότητες και τις ακολουθούμε: 
            
           ,
ενώ
           
           .
Δηλαδή ψάχνουμε τον ελάχιστο φυσικό που είναι μικρότερος του και είναι τέτοιος ώστε .
Παρατηρούμε πως , ενώ .


Επομένως ο μόνος (άρα και ο ελάχιστος) φυσικός που επαληθεύει τις ανισότητες, είναι ο .






Σημειώσεις:
    to be continued...