law of cosines

                                                                                 ΕΥΚΛΕΙΔΗ ΣΤΟΙΧΕΙΑ - βιβλίο ΙΙ, πρόταση ιβ'
Αυτό είναι το περίφημο θεώρημα της αμβλείας γωνίας, όπως διατυπώθηκε από τον Ευκλείδη κατά το 300π.Χ., ως γενίκευση του πυθαγορείου θεωρήματος. Το ίδιο θεώρημα (μαζί με εκείνο της οξείας γωνίας, πρόταση ιγ' του βιβλίου ΙΙ των στοιχείων) ταλαιπωρεί τους μαθητές της Β' Λυκείου δυο χιλιάδες χρόνια μετά. Παρουσιάζω μια σύντομη και ενοποιημένη απόδειξη των προτάσεων καθώς και της σύγχρονης εκδοχής τους, που είναι ο νόμος των συνημιτόνων. Στη συνέχεια δίνω μια πιο συμπαγή αλγεβρική απόδειξη του νόμου και, τέλος, επιχειρώ να αναδείξω τη σχέση του με το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων.


Όπως παρατηρούμε από το σχήμα, καθώς το σημείο κινείται πάνω στην ευθεία , η γωνία μεταβάλλεται από αμβλεία ("κόκκινη" θέση) σε ορθή ("άσπρη" θέση, σημείο ) και σε οξεία ("κίτρινη" θέση). Σε κάθε περίπτωση[1] όμως, εφαρμόζοντας το πυθαγόρειο θεώρημα διαδοχικά στα ορθογώνια τρίγωνα και , έχουμε:
               (1) 
Τώρα:
● Αν , είναι , οπότε η (1) γίνεται
              (2)

● Αν , είναι , οπότε η (1) γίνεται
                (3)

● Αν , τότε προφανώς το σημείο συμπίπτει με το και είναι 
, ενώ , οπότε η σχέση (1) δίνει το πυθαγόρειο θεώρημα:
            .

       __________________                                                        O Νόμος των Συνημιτόνων
Η ανακάλυψη της τριγωνομετρίας μας έδωσε ένα σημαντικό εργαλείο που δεν υπήρχε στην εποχή του Ευκλείδη. Το εργαλείο αυτό μας επιτρέπει να συνοψίσουμε τις τρεις παραπάνω περιπτώσεις σε μία και μοναδική σχέση: το νόμο των συνημιτόνων! Πράγματι, από το ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε:
● Αν , τότε  
οπότε η (2) δίνει .
● Αν , τότε 
οπότε η (3) τώρα μας δίνει .
● Αν , τότε είναι , οπότε ισχύει προφανώς ο παραπάνω τύπος.
Σε κάθε περίπτωση λοιπόν ισχύει
               (4)

_____________________________________________________Αλγεβρική Απόδειξη
Από την άλλη, η χρήση των καρτεσιανών συντεταγμένων μας επιτρέπει να αποδείξουμε το νόμο των συνημιτόνων ακόμα πιο "ολιστικά", χωρίς να διακρίνουμε περιπτώσεις για τη γωνία .
Πράγματι, αν θεωρήσουμε ένα ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων
τοποθετώντας το σημείο στην αρχή των αξόνων (βλ. διακεκομμένες γραμμές στο σχήμα)
τότε το σημείο έχει συντεταγμένες . Επομένως αν υποθέσουμε ότι το σημείο έχει συντεταγμένες , τότε ο γενικευμένος ορισμός που έχουμε δώσει για το συνημίτονο και το ημίτονο οποιασδήποτε γωνίας, μας οδηγεί στις σχέσεις:
           και , ή αλλιώς
           και .[2]
Τώρα όμως από τον ορισμό της απόστασης[3] δύο σημείων θα έχουμε:
          
          
             
           
         ,  ὅπερ ἔδει δεῖξαι!.

______________________________________________Εσωτερικό Γινόμενο
Ο νόμος των συνημιτόνων είναι στην ουσία ισοδύναμος με τον ορισμό του εσωτερικού γινομένου διανυσμάτων. Ιδού γιατί: 
Ας θεωρήσουμε πως το υπό εξέταση τρίγωνο σχηματίζεται από τα διανύσματα
, , όπως φαίνεται στο σχήμα.
Τότε είναι
. Λογικά θα θέλαμε να ορίσουμε ένα "γινόμενο" δύο διανυσμάτων κατά τέτοιο τρόπο ώστε να διατηρούνται οι γνωστές ιδιότητες. Π.χ. θα έπρεπε να ισχύει 
               (5)
Α-χα! Μήπως αυτή η τελευταία σχέση θυμίζει τον (συνήθη ύποπτο) νόμο των συνημιτόνων; Πράγματι, φαίνεται πως το γινόμενο διανυσμάτων που θέλουμε να ορίσουμε μάλλον πρέπει να είναι αριθμός.
Πιο συγκεκριμένα, αν ορίζαμε , η σχέση (5) θα γινόταν:
              (6)
Όμως ο νόμος των συνημιτόνων της σχέσης (4) θα γραφόταν με συμβολισμό διανυσμάτων:
              (7)
Από τις σχέσεις (6) και (7) οδηγούμαστε αναπόφευκτα στο να ορίσουμε 
          ,
δηλαδή στον γνωστό ορισμό του εσωτερικού γινομένου διανυσμάτων που ο μαθητής της Β' Λυκείου βλέπει να προσγειώνεται ουρανοκατέβατος μπροστά του!



Σημειώσεις:
1. ^Η μόνη περίπτωση που δεν φαίνεται στο σχήμα μας είναι όταν και . Και πάλι όμως ισχύει απαράλλαχτη η σχέση (1), μόνο που τώρα είναι . Αυτό όμως υψωμένο στο τετράγωνο δίνει ακριβώς τον ίδιο τύπο (δοκίμασέ το φτιάχνοντας το αντίστοιχο σχήμα!).
2. ^Στην περίπτωση που , ο άξονας προφανώς μετατοπίζεται δεξιά (δες σχήμα εδώ)
οπότε είναι
δηλ. . Αυτό συμβαδίζει φυσικά με το γεγονός ότι η γωνία είναι αμβλεία.
3. ^Βέβαια ο ορισμός της απόστασης δεν είναι παρά μια μεταμφιεσμένη μορφή του πυθαγορείου θεωρήματος. Δεν γλιτώνουμε με τίποτα από αυτό!