Invent your future!: trig-oh-no!-metry

Η μελέτη των τριγωνομετρικών συναρτήσεων στη Β' Λυκείου, πέρα από την καθεαυτή τριβή του μαθητή με τους τριγωνομετρικούς αριθμούς και την προέλευσή τους, τού δίνει μια καλή ευκαιρία να παίξει σε πρωτογενές επίπεδο με τη μονοτονία και τα ακρότατα, θέματα βασικά στην ύλη της Γ'. Η παρακάτω άσκηση συνοψίζει κάποιες βασικές διαδικασίες σ' αυτή τη μελέτη. Προτείνεται στον μαθητή να σκεφτεί προσεκτικά πάνω στην άσκηση, πριν κοιτάξει απ' την κλειδαρότρυπα τη λύση και το σχολιασμό που ακολουθεί:

Δίνονται οι συναρτήσεις $\boldsymbol{ f(x)=\boldsymbol{\rho \,\sigma \upsilon \nu \omega} x-1}$ και $\boldsymbol{g(x)=\boldsymbol{\eta \mu} \frac{4x}{3}}$ , όπου
$\boldsymbol{\boldsymbol{\rho} >0}$ και $\boldsymbol{\boldsymbol{\omega} >0}$ . Αν η $\boldsymbol{f}$ έχει μέγιστο $\boldsymbol{0}$ και περίοδο $\boldsymbol{T=\boldsymbol{\pi}}$ ,

α) Να βρείτε τον τύπο της $\boldsymbol{f}$ .
β) Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τη γραφική παράσταση των $\boldsymbol{f}$ και $\boldsymbol{g}$
στο διάστημα $\boldsymbol{[0,\frac{3\boldsymbol{\pi} }{2}]}$ .
γ) Να δείξετε ότι $\boldsymbol{f(\frac{\boldsymbol{\pi} }{10})>-\frac{1}{2}}$ .

Λύση:

α) Εφόσον η $f(x)=\rho \,\sigma \upsilon \nu \omega x-1$ έχει μέγιστο $0$ , η $\rho \,\sigma \upsilon \nu \omega x$ θα έχει μέγιστo^[1] $0+1=1$ , αφού $\rho \,\sigma \upsilon \nu \omega x=(\rho \,\sigma \upsilon \nu \omega x-1)+1=f(x)+1$ . Αυτό όμως σημαίνει πως $\rho =1$ , δεδομένου ότι $\rho >0$ .^[2]
Από την άλλη, η περίοδος της $f$ δίνεται από τον τύπο $T=\frac{2\pi }{\omega }$ , οπότε επειδή $T=\pi$ , θα έχουμε: $\pi =\frac{2\pi }{\omega }\Rightarrow \omega =2$ .
Επομένως ο τύπος της $f$ είναι $\color{Apricot} \boldsymbol{f(x)=\boldsymbol{\sigma \upsilon \nu} 2x-1}$ .

$\begin{matrix} x \hspace{17,5 mm} \vline & 0 & \frac{\pi}{4} & \frac{\pi}{2} & \frac{3\pi}{4} & \pi \\ \hline \sigma \upsilon \nu 2x \hspace{8,2 mm} \vline & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 \\ \hline \sigma \upsilon \nu 2x-1 \hspace{1 mm} \vline & 0 & -1 & -2 & -1 & 0 \\ \hline \end{matrix}$ β) Ο πίνακας τιμών για την $f(x)$ φαίνεται δίπλα (τον κατασκευάζουμε σταδιακά αφού βρούμε πρώτα τις τιμές για το $\sigma \upsilon \nu 2x$ ).

Η $g(x)$ έχει προφανώς μέγιστο $1$ και ελάχιστο $-1$ , ενώ η περίοδός της είναι $T=\frac{2\pi }{\frac{4}{3}}=\frac{6\pi }{4}=\frac{3\pi }{2}$ .

$\begin{matrix} x \hspace{8,5 mm} \vline & 0 & \frac{3\pi}{8} & \frac{3\pi}{4} & \frac{9\pi}{8} & \frac{3\pi}{2} \\ \hline \eta \mu \frac{4x}{3} \hspace{2 mm} \vline & 0 & 1 & -0 & -1 & 0 \\ \hline \end{matrix}$ Άρα η $g(x)$ έχει πίνακα τιμών τον διπλανό,

οπότε μπορούμε να κατασκευάσουμε τη ζητούμενη γραφική παράσταση, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα

(Για να προσδιορίσουμε με σχετική ακρίβεια τα σημεία $\frac{3\pi }{8}$ και $\frac{9\pi }{8}$ στον άξονα ${x}'x$ , παρατηρούμε τα εξής: είναι $\frac{3\pi }{8}=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{8}$ , λογικά λοιπόν θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε ένα "βήμα" $\frac{\pi }{8}$ για τον προσδιορισμό των σημείων. Πράγματι, και για το $\frac{9\pi }{8}$ παρατηρούμε πως $\frac{9\pi }{8}=\pi +\frac{\pi }{8}$ .)

γ) Θα προσπαθήσουμε με ισοδυναμίες να φτάσουμε σε μια αληθή πρόταση. Είναι:
$f(\frac{\pi }{10})>-\frac{1}{2}\Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu (2\cdot \frac{\pi }{10})-1>-\frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu \frac{\pi }{5}>\frac{1}{2}$ (1)
Πώς θα συγκρίνουμε αυτούς τους δύο αριθμούς, εφόσον δεν γνωρίζουμε το $\sigma \upsilon \nu \frac{\pi }{5}$ ;
Μα, το $\frac{1}{2}$ είναι το $\sigma \upsilon \nu \frac{\pi }{3}$ , οπότε η (1) γράφεται ισοδύναμα: $\color{Apricot} \boldsymbol{\sigma \upsilon \nu \frac{\pi }{5}>\sigma \upsilon \nu \frac{\pi }{3}}$ .
H τελευταία ανισότητα όμως είναι αληθής, αφού $0<\frac{\pi }{5}<\frac{\pi }{3}<\frac{\pi }{2}$ και η συνάρτηση $\sigma \upsilon \nu x$ είναι, ως γνωστόν, γνησίως φθίνουσα στο διάστημα $0,\frac{\pi }{2}$ . Άρα αληθεύει και η πρόταση που θέλαμε να αποδείξουμε.^[3]

Σημειώσεις:

1. ^{^}Γενικά, αν μια οποιαδήποτε συνάρτηση $\sigma (x)$ έχει μέγιστο $M$ και ελάχιστο $m$ , τότε η συνάρτηση $\sigma (x)+a$ (όπου $a$ κάποιος πραγματικός αριθμός) έχει μέγιστο $M+a$ και ελάχιστο $m+a$ . Αυτό είναι προφανές, αφού ισχύει $m\le \sigma (x)\le M\Leftrightarrow m+a\le \sigma (x)+a\le M+a$ , για οποιοδήποτε $x$ διαλέξουμε στο πεδίο ορισμού της $\sigma (x)$ .
2. ^{^}Αλλιώς μπορούμε να πούμε ότι η $f(x)=\rho \,\sigma \upsilon \nu \omega x-1$ έχει μέγιστο $\rho -1$ , οπότε έχουμε $\rho -1=0\Leftrightarrow \rho =1$ .
3. ^{^}Εναλλακτικά, μπορούμε για το ερώτημα γ να εστιάσουμε στη μονοτονία της συνάρτησης $f(x)$ .

Κάθε συνάρτηση της μορφής $\rho \,\sigma \upsilon \nu \omega x+a$ (με $\rho >0$ και $a \in \mathbb{R}$ ) είναι προφανώς γνησίως φθίνουσα στο διάστημα $[0,\frac{T}{2}]$ , όπου $T$ η περίοδος. (Γιατί; σκέψου το!)

Επομένως και η $f(x)=\sigma \upsilon \nu 2x-1$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $[0,\frac{\pi }{2}]$ , όπως φαίνεται εξάλλου κι από τη γραφική παράσταση που κατασκευάσαμε προηγουμένως. Για να δείξουμε λοιπόν ότι $f(\frac{\pi }{10})>-\frac{1}{2}$ , αρκεί να σκεφτούμε για ποια τιμή του $x$ ισχύει $f(x)=-\frac{1}{2}$ . Έχουμε:

$f(x)=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu 2x-1=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu 2x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu 2x=\sigma \upsilon \nu \frac{\pi }{3}$ $\Leftrightarrow 2x=2k\pi \pm \frac{\pi }{3},\,k\in \mathbb{Z}$ $\Leftrightarrow x=k\pi \pm \frac{\pi }{6},\,k\in \mathbb{Z}$ .
Από αυτές τις λύσεις θα πρέπει να διαλέξουμε κάποια στο διάστημα $[0,\frac{\pi }{2}]$ στο οποίο ανήκει και το $\frac{\pi }{10}$ .

Πράγματι, για $k=0$ παίρνουμε τη λύση $x=\frac{\pi }{6}$ , δηλ. ισχύει $f(\frac{\pi }{6})=-\frac{1}{2}$ .
Τότε η ανισότητα που θέλουμε να αποδείξουμε γίνεται $f(\frac{\pi }{10})>f(\frac{\pi }{6})$ . Αυτή η τελευταία όμως προφανώς ισχύει, λόγω της μονοτονίας της $f$ που αναφέραμε προηγουμένως και του γεγονότος ότι $0<\frac{\pi }{10}<\frac{\pi }{6}<\frac{\pi }{2}$ .

Βέβαια αυτή η εναλλακτική λύση είναι πιο περίπλοκη, ωστόσο ρίχνει ένα επιπλέον φως στο πρόβλημά μας. Αυτό είναι πάντα χρήσιμο στα μαθηματικά, και ο μαθητής που επιθυμεί την βαθύτερη και πληρέστερη κατανόηση των πραγμάτων, καλό θα ήταν να το επιδιώκει!

Invent your future!

Σελίδες

Κυριακή

trig-oh-no!-metry