ΙΜΟ

Κι ενώ εμείς έχουμε ψηθεί κανονικά και κάνουμε τις βουτιές μας τρελαμένοι, κάποιοι πιστεύουν πως κατακαλόκαιρο στο Άμστερνταμ μπορείς να κάνεις και άλλα πράματα πέρα από τα... συνήθη. International Mathematical Olympiad λοιπόν σε λίγες μέρες (18-19 Ιουλίου) στη χώρα της τουλίπας. Διάλεξα ένα σχετικά εύκολο θέμα από την περσινή ολυμπιάδα και παρουσιάζω τη λύση με έναν κατά το δυνατό ευρετικό τρόπο. Οι απαιτήσεις του θέματος σε επίπεδο γνώσεων είναι μικρές (στην ουσία μόνο η έννοια της συνάρτησης χρειάζεται), οπότε ο μαθητής του λυκείου με λίγη έξτρα θέληση για μαθηματικές περιπέτειες, μπορεί να παίξει και να δοκιμάσει τις δυνάμεις του στο "σφιχτό" reasoning του ολυμπιακού επιπέδου.. Έχουμε λοιπόν (1ο θέμα, ΙΜΟ-2010):


Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις που ικανοποιούν την εξίσωση
, για κάθε    (1)
(Με συμβολίζουμε τον μεγαλύτερο ακέραιο που είναι μικρότερος ή ίσος του .)


Λύση:
Αρχικά κατανοούμε τον συμβολισμό . Προφανώς πρόκειται για το "ακέραιο μέρος" του , π.χ. , , , ενώ για τους αρνητικούς , αφού . Τώρα; Είναι λογικό να "ψηλαφίσουμε" τη σχέση που μας δίνεται, δηλ. να βάλουμε στη θέση των και συγκεκριμένους πραγματικούς αριθμούς για να δούμε τι θα συμβεί. 
Για λοιπόν η (1) μας δίνει ή
, για κάθε    (2)
Στην τελευταία σχέση μπορούμε να διαγράψουμε το και από τα δύο μέλη μόνο αν . Συνεπώς αναγκαστικά θα διακρίνουμε 2 περιπτώσεις:


1η περίπτωση: . Τότε με την απαλοιφή του η (2) μας δίνει 
   (3)
Ήδη με αυτή την κίνηση έχουμε περιορίσει σε μεγάλο βαθμό τις πιθανές ζητούμενες συναρτήσεις. Συγκεκριμένα, το "ακέραιο μέρος" των τιμών των συναρτήσεων είναι υποχρεωτικά , που σημαίνει ότι οι τιμές αυτές βρίσκονται στο διάστημα . Έχουμε βγάλει λοιπόν ένα ισχυρό συμπέρασμα για το σύνολο τιμών των . Πώς θα προχωρήσουμε παραπέρα; Μα, η (3) "φωνάζει" να τροποποιήσουμε την δοθείσα σχέση: αντικαθιστώντας στην (1) το παίρνουμε:
   (4)
Αν τώρα στην (4) βάλουμε , καταλήγουμε στο , για κάθε , όπου μια πραγματική σταθερά, με . Όμως , οπότε έχουμε τις συναρτήσεις με .


2η περίπτωση: . Τώρα η (2) δεν μας δίνει καμιά περαιτέρω πληροφορία, οπότε επιστρέφουμε στην (1), θέτοντας
, για κάθε    (5)
Παρατηρώντας προσεκτικά την (5), συνειδητοποιούμε πως μάλλον είναι δύσκολο το να μην είναι μηδέν, εφόσον η σχέση πρέπει να ισχύει για κάθε . Στην ουσία δηλαδή φαίνεται πως οδηγούμαστε στη μηδενική συνάρτηση, πράγμα που συνάδει με την προϋπόθεση  . Πρέπει όμως αυτή τη διαίσθηση να την στερεώσουμε αποδεικτικά. 
Πράγματι, ας υποθέσουμε αντίθετα πως . Τότε η (5) μας δίνει , οπότε μπορούμε να γράψουμε την (1) ως
δηλαδή:
   (6)
Πώς θα καταλήξουμε από την (6) στο ζητούμενο άτοπο; Στην ουσία τώρα έχουμε στα χέρια μας δυο ισχυρές υποθέσεις για τα και : μήπως μπορούμε να εμφανίσουμε αυτές τις δυο ποσότητες στην (6) βάζοντας τις κατάλληλες τιμές στα και ; Πράγματι, με στοιχειώδεις δοκιμές παρατηρούμε πως για και η (6) γίνεται:
, δηλαδή , άτοπο! Καταλήξαμε σε άτοπο επειδή υποθέσαμε πως , επομένως δεν μπορεί παρά να είναι  και η (5) μας δίνει ,  για κάθε .


Τελικά λοιπόν από τις δύο παραπάνω περιπτώσεις συμπεραίνουμε πως οι ζητούμενες συναρτήσεις είναι οι 
, όπου ή .