πορίσματα

Τα πορίσματα των κριτηρίων ισότητας τριγώνων είναι διάσπαρτα σε 2-3 παραγράφους στο σχολικό βιβλίο Γεωμετρίας της Α' Λυκείου. Τα συγκεντρώνω εδώ για διευκόλυνση των μαθητών και για να συνειδητοποιήσουν ότι κάποια από αυτά μπορούν να διατυπωθούν ως το ευθύ και το αντίστροφο ενός πορίσματος. Παραθέτω και τις σελίδες στις οποίες βρίσκονται οι αποδείξεις στο σχολικό βιβλίο.




ΠΟΡΙΣΜΑΤΑ ΤΩΝ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

1. Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο:
- οι προσκείμενες στη βάση γωνίες είναι ίσες,
- η διχοτόμος της γωνίας της κορυφής είναι διάμεσος και ύψος,
- η διάμεσος που αντιστοιχεί στη βάση είναι διχοτόμος και ύψος,
- το ύψος που αντιστοιχεί στη βάση είναι διάμεσος και διχοτόμος.
[Απόδειξη: σελ.37-πόρισμα Ι, σελ.40-πόρισμα Ι, σελ.45-πόρισμα Ι.]

2. Ένα σημείο ανήκει στη μεσοκάθετο ευθύγραμμου τμήματος αν και μόνο αν ισαπέχει από τα άκρα του.
[Απόδειξη: Ευθύ () σελ.37-πόρισμα ΙΙΙ. Αντίστροφο () σελ.40-πόρισμα ΙΙ.]

3. Δύο τόξα ενός κύκλου (μικρότερα του ημικυκλίου) είναι ίσα αν και μόνο αν οι χορδές τους είναι ίσες.
[Απόδειξη: Ευθύ () σελ.37-πόρισμα ΙV. Αντίστροφο () σελ.41-πόρισμα ΙΙI.]


Παρατήρηση:
Τα πορίσματα 2 και 3 παραπάνω περιέχουν ισοδύναμες προτάσεις, όπως συμπεραίνουμε από την έκφραση «αν και μόνο αν» (η οποία ταυτίζεται με το γνωστό μας σύμβολο της ισοδυναμίας ). Σε αυτές τις περιπτώσεις, για να κάνουμε την απόδειξη πρέπει να αποδείξουμε και τις δύο «κατευθύνσεις»: το ευθύ () και το αντίστροφο ().
Π.χ. στο πόρισμα 2,
- το ευθύ είναι ότι «αν ένα σημείο ανήκει στη μεσοκάθετο ευθύγραμμου τμήματος, τότε ισαπέχει από τα άκρα του», ενώ
- το αντίστροφο ότι «αν ένα σημείο ισαπέχει από τα άκρα ευθύγραμμου τμήματος, τότε ανήκει στη μεσοκάθετό του».
(Αντίστοιχες ισοδυναμίες συναντά κανείς παντού στα μαθηματικά.)