λίγη μεθοδολογία

κεφ. 3: ΤΡΙΓΩΝΑ
Πώς λύνουμε τις ασκήσεις στη Γεωμετρία;
Οδηγίες προς ναυτιλομένους!
(Οι παραπομπές αναφέρονται στις σελίδες του σχολικού βιβλίου της Γεωμετρίας.)


Πρώτα – πρώτα, σε οποιαδήποτε άσκηση γεωμετρίας πρέπει να φτιάξουμε ένα σωστό, ξεκάθαρο σχήμα. Χρησιμοποιούμε οπωσδήποτε γνώμονα και διαβήτη. Ακολουθούμε σιγά – σιγά αυτά που μας λέει η άσκηση και σχεδιάζουμε ένα – ένα τα στοιχεία της. Αν μας λέει να φτιάξουμε «τρίγωνο», χωρίς να αναφέρει αν είναι ισοσκελές, ισόπλευρο ή κάτι άλλο, θα το φτιάξουμε σκαληνό. Αλλιώς μπορεί να μπερδευτούμε. Στη συνέχεια, ξεκαθαρίζουμε: τι μας δίνει η άσκηση; Τι μας ζητάει; Σημειώνουμε όσα από τα δεδομένα μπορούμε πάνω στο σχήμα. Π.χ. τις ίσες πλευρές, τις ίσες γωνίες, τις ορθές γωνίες, κλ.π. Αυτό βοηθάει πολύ! Επίσης, αφού μελετήσουμε καλά την άσκηση, σχεδιάζουμε με μολύβι (για να μπορούμε να τις σβήσουμε αν δεν χρειαστούν) όσες βοηθητικές γραμμές κρίνουμε ότι θα είναι απαραίτητες (π.χ. κάποιο ύψος, ή χορδή, ή πλευρά τριγώνου, κ.λπ.). Τώρα:

1. Όταν μας ζητούν να αποδείξουμε ότι 2 ευθύγραμμα τμήματα είναι ίσα ή 2 γωνίες είναι ίσες,
αμέσως σκεφτόμαστε τα κριτήρια ισότητας των τριγώνων. Μπορούμε να βρούμε 2 τρίγωνα που έχουν ως πλευρές ή γωνίες αυτές που ζητάει η άσκηση; Αν ναι, τότε συγκρίνουμε τα 2 τρίγωνα χρησιμοποιώντας ένα από τα 3 κριτήρια (σελ. 36-41). (Προσοχή: ψάχνουμε για 3 στοιχεία ίδια, εκτός και αν τα τρίγωνα είναι ορθογώνια, οπότε ψάχνουμε για 2.) Αν λοιπόν βγάλουμε ότι τα 2 τρίγωνα που συγκρίναμε είναι ίσα, τότε θα είναι ίσα και όλα τα αντίστοιχα στοιχεία τους, οπότε θα είναι ίσες και οι πλευρές ή οι γωνίες που μας ζητούσε η άσκηση. Φυσικά, δεν ξεχνάμε τα θεωρήματα και τα πορίσματα που αφορούν
─ το ισοσκελές τρίγωνο (σελ. 37,40, 45),
─ τη μεσοκάθετο ενός ευθύγραμμου τμήματος (σελ. 37, 40),
─ τα ίσα τόξα ενός κύκλου (σελ. 37, 41),
─ τη διχοτόμο μιας γωνίας (σελ. 46),
─ τα αποστήματα των χορδών (σελ. 46).
Αυτά μας βοηθούν να φτάνουμε πιο γρήγορα σε ορισμένα συμπεράσματα, χωρίς να αποδεικνύουμε δηλαδή απ’ την αρχή πράγματα που έχουμε αποδείξει ήδη στη θεωρία!

2. Αν μας ζητούν να αποδείξουμε ότι μια γωνία είναι μεγαλύτερη ή μικρότερη από μία άλλη,
το μυαλό μας πάει στην εξωτερική γωνία τριγώνου (θεώρημα σελ. 53) ή στο θεώρημα (σελ. 54) που συνδέει άνισες πλευρές με άνισες γωνίες.

3. Αν μας ζητούν να αποδείξουμε ότι μια πλευρά είναι μεγαλύτερη ή μικρότερη από μία άλλη,
το μυαλό μας πάει στην τριγωνική ανισότητα (σελ. 54), ή στο θεώρημα (σελ. 54) που συνδέει άνισες πλευρές με άνισες γωνίες, ή στο θεώρημα ΙΙ (σελ. 59) για τα πλάγια και κάθετα ευθύγραμμα τμήματα.

4. Αν η άσκηση μιλάει για εφαπτόμενες σε κύκλο
το πρώτο πράγμα που πρέπει να σχεδιάσουμε στο σχήμα μας είναι η ακτίνα εκείνη που είναι κάθετη στην εφαπτομένη στο σημείο επαφής. Από κει και πέρα, θα σκεφτούμε μήπως μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα ΙΙ και το πόρισμα της σελ. 62 για τα εφαπτόμενα τμήματα, ή, στην περίπτωση τεμνόμενων κύκλων, το θεώρημα και την παρατήρηση στη σελ. 64 που συνδέει τη διάκεντρο με την κοινή χορδή.