Invent your future!: absolute

Μια επαναληπτική άσκηση στις απόλυτες τιμές για την Α' Λυκείου, που συνοψίζει κάποιες από τις αντίστοιχες ιδιότητες, την έννοια της απόλυτης τιμής ως απόστασης, και τη χρήση του ορισμού σε πιο σύνθετες περιπτώσεις. Η άσκηση είναι διατυπωμένη έτσι ώστε ο μαθητής να οδηγείται σταδιακά στα αποτελέσματα, χρησιμοποιώντας ένα υποερώτημα για να λύσει το επόμενο.

Δίνεται η παράσταση $\boldsymbol{K=\frac{\left| 4{{x}^{2}}-16{{y}^{2}} \right|}{4\left| -x-2y \right|}}$ , όπου $\boldsymbol{x,y\in \mathbb{R}}$ με $\boldsymbol{x\ne -2y}$ .

α) Να απλοποιήσετε την παράσταση.

β) Για $\boldsymbol{y=1}$ :

(i) αν $\boldsymbol{K\le 3}$ , να γράψετε την ανίσωση με τη μορφή απόστασης ( $\boldsymbol{d}$ ) και να βρείτε το διάστημα στο οποίο ανήκει το $\boldsymbol{x}$ .

(ii) να εκφράσετε την παράσταση $\boldsymbol{A=K+\left| 3-x \right|}$ χωρίς απόλυτες τιμές.

Λύση:

α) Θα εφαρμόσουμε τις ιδιότητες^[1] των απόλυτων τιμών. Έχουμε:

$K=\frac{\left| 4{{x}^{2}}-16{{y}^{2}} \right|}{4\left| -x-2y \right|}=\frac{\left| 4({{x}^{2}}-4{{y}^{2}}) \right|}{4\left| -x-2y \right|}=\frac{\left| 4 \right|\left| {{x}^{2}}-4{{y}^{2}} \right|}{4\left| -x-2y \right|}=\frac{4\left| {{x}^{2}}-{{(2y)}^{2}} \right|}{4\left| -x-2y \right|}$ ^[2] $=\frac{\left| (x-2y)(x+2y) \right|}{\left| -(x+2y) \right|}=\frac{\left| x-2y \right|\left| x+2y \right|}{\left| x+2y \right|}=\left| x-2y \right|$ .

Τελικά λοιπόν $\color{Apricot} \boldsymbol{K=\left| x-2y \right|}$ .

β) Για $y=1$ η παράσταση γίνεται $K=\left| x-2\cdot 1 \right|$ δηλ. $K=\left| x-2 \right|$ , άρα:

(i) Η $K\le 3$ γράφεται $\left| x-2 \right|\le 3$ , οπότε με τη μορφή απόστασης: $\color{Apricot} \boldsymbol{d(x,2)\le 3}$ .

Από την άλλη, έχουμε:

$K\le 3\Leftrightarrow \left| x-2 \right|\le 3\Leftrightarrow -3\le x-2\le 3$ $\Leftrightarrow 2-3\le x\le 2+3\Leftrightarrow -1\le x\le 5$ .

Επομένως το $x$ ανήκει στο διάστημα $\color{Apricot} \boldsymbol{[-1,5]}$ .^[3]

$x-2\ge 0\Leftrightarrow x\ge 2$ , ενώ $3-x\ge 0\Leftrightarrow x\le 3$ .^[4]

Επομένως μπορούμε να κατασκευάσουμε τον επόμενο πίνακα προσήμων:

$\begin{matrix} x & \vline & -\infty & & 2 & & 3 & & +\infty \\ \hline x-2 & \vline & & - & \vline & + & \vline & + \\ \hline 3-x & \vline & & + & \vline & + & \vline & - \\ \hline \end{matrix}$

Από τον πίνακα αντιλαμβανόμαστε ότι πρέπει να εξετάσουμε 3 περιπτώσεις:

 Αν $x<2$ , τότε $A=2-x+3-x=5-2x$ .

 Αν $2\le x\le 3$ , τότε $A=x-2+3-x=1$ .

 Αν $x>3$ , τότε $A=x-2+x-3=2x-5$ .

Επομένως τελικά

$\color{Apricot} \boldsymbol{A=\begin{cases} 5-2x &,a\nu \,\, x<2 \\ 1&,a\nu \,\, 2\leq x\leq 3 \\ 2x-5&,a\nu \,\, x>3 \end{cases}}$ ^[5]

Σημειώσεις:

1. ^{^}Συγκεκριμένα εδώ εφαρμόζουμε τις ιδιότητες: $\left| a\cdot \beta \right|=\left| a \right|\cdot \left| \beta \right|$ και $\left| -a \right|=\left| a \right|$ . Υπενθυμίζουμε πως τα $a$ και $\beta$ μπορεί να είναι οποιεσδήποτε παραστάσεις, π.χ. $a=x-2y$ .

2. ^{^}Εδώ εφαρμόζουμε την ταυτότητα $a^2-{{\beta }^{2}}=(a-\beta )\cdot (a+\beta )$ , όπου $a=x$ και $\beta =2y$ .

3. ^{^}Η σχέση $d(x,2)\le 3$ σημαίνει ότι ψάχνουμε τους αριθμούς $x$ που η απόστασή τους από το $2$ είναι μικρότερη ή ίση του $3$ . Όπως εύκολα φαίνεται και από το παρακάτω σχήμα,

αυτοί είναι οι αριθμοί του διαστήματος $[-1,5]$ .

4. ^{^}Αυτό σημαίνει πως το $x-2$ είναι θετικό ( $+$ ) δεξιά του $2$ , ενώ αντίστοιχα το $3-x$ είναι θετικό αριστερά του $3$ . Έτσι λοιπόν βάζουμε τα αντίστοιχα πρόσημα στον πίνακα. Στη συνέχεια, σύμφωνα με τον ορισμό

$|a|=\begin{cases} a & ,a\nu\,\,a\geq 0 \\ -a & ,a\nu\,\,a< 0 \end{cases}$

θα "βγάλουμε" τις απόλυτες τιμές. Π.χ. για $a=x-2$ , είναι $-a=-(x-2)=2-x$ . Άρα $|x-2|=x-2$ , όταν $x-2$ θετικό ( $+$ ), και $|x-2|=2-x$ , όταν $x-2$ αρνητικό ( $-$ ).

5. ^{^}Αν θέλουμε να είμαστε απόλυτα σωστοί, θα πρέπει να εξαιρέσουμε την τιμή $x=-2$ από τις περιπτώσεις για το $A$ , αφού το αρχικό κλάσμα από το οποίο προήλθε το $K$ απαιτούσε να είναι $x\ne -2y$ , δηλαδή $x\ne -2$ (διότι $y=1$ ).

Invent your future!

Σελίδες

Παρασκευή

absolute